堆

堆(heap)是计算机科学中一类特殊的数据结构的统称，通常是一个可以被看做一棵树的数组对象。

堆{k1,k2,ki,…,kn} (ki <= k2i,ki <= k2i+1)|(ki >= k2i,ki >= k2i+1), (i = 1,2,3,4...n/2)

关于堆：

堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；

堆总是一棵完全二叉树（下面）。

将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

完全二叉树

说到堆排序，就不能不提完全二叉树，这些基本概念在网上到处都是，我摘了个最简单的。。

完全二叉树：除最后一层外，每一层上的节点数均达到最大值；在最后一层上只缺少右边的若干结点。

我自己总结认为，正是因为有下面两个特点，

只允许最后一层有空缺结点且空缺在右边，即叶子结点只能在层次最大的两层上出现（存储方式的规则性）；

若i>1，tree的双亲为tree[i p 2]（其父子结点值的规律性）；

才使得其进行排序非常方便。

堆排序

堆排序求升序用大顶堆，求降序用小顶堆。

本例用求降序的小顶堆来解析。

堆排序步骤如下：

1、我们将数据（49、38、65、97、76、13、27、50）建立一个数组$arr；

2、用数组$arr建立一个小顶堆（主要步骤，会在代码注释里解释，下图是用一个数组建立小顶堆的过程）；

3、将堆的根（最小的元素）与最后一个叶子交换，并将堆长度减一，跳到第二步；

4、重复2-3步，直到堆中只有一个结点，排序完成。

堆排序的PHP实现

1. //因为是数组,下标从0开始,所以,下标为n根结点的左子结点为2n+1,右子结点为2n+2;  
2.  
3. //初始化值,建立初始堆 
4.  
5. $arr=array(49,38,65,97,76,13,27,50); 
6.  
7. $arrSize=count($arr); 
8.  
9.  
10.  
11. //将第一次排序抽出来，因为最后一次排序不需要再交换值了。 
12.  
13. buildHeap($arr,$arrSize); 
14.  
15.  
16.  
17. for($i=$arrSize-1;$i>0;$i--){ 
18.  
19.   swap($arr,$i,0); 
20.  
21.   $arrSize--; 
22.  
23.   buildHeap($arr,$arrSize);   
24.  
25. } 
26.  
27.  
28.  
29. //用数组建立最小堆 
30.  
31. function buildHeap(&$arr,$arrSize){ 
32.  
33.   //计算出最开始的下标$index,如图,为数字"97"所在位置,比较每一个子树的父结点和子结点,将最小值存入父结点中 
34.  
35.   //从$index处对一个树进行循环比较,形成最小堆 
36.  
37.   for($index=intval($arrSize/2)-1; $index>=0; $index--){ 
38.  
39.     //如果有左节点,将其下标存进最小值$min 
40.  
41.     if($index*2+1<$arrSize){ 
42.  
43.       $min=$index*2+1; 
44.  
45.       //如果有右子结点,比较左右结点的大小,如果右子结点更小,将其结点的下标记录进最小值$min 
46.  
47.       if($index*2+2<$arrSize){ 
48.  
49.         if($arr[$index*2+2]<$arr[$min]){ 
50.  
51.           $min=$index*2+2; 
52.  
53.         } 
54.  
55.       } 
56.  
57.       //将子结点中较小的和父结点比较,若子结点较小,与父结点交换位置,同时更新较小 
58.  
59.       if($arr[$min]<$arr[$index]){ 
60.  
61.         swap($arr,$min,$index); 
62.  
63.       }   
64.  
65.     } 
66.  
67.   } 
68.  
69. } 
70.  
71.  
72.  
73. //此函数用来交换下数组$arr中下标为$one和$another的数据 
74.  
75. function swap(&$arr,$one,$another){ 
76.  
77.   $tmp=$arr[$one]; 
78.  
79.   $arr[$one]=$arr[$another]; 
80.  
81.   $arr[$another]=$tmp; 
82.  
83. } 

下面是排序的最终结果：

堆用来进行全排序，时间复杂度是O(nlogn)

而快排用来全排序，平均时间复杂度也是O(nlogn)

但堆排序可以用来求 TopK 时，堆的时间复杂度为O(Klog2(n)，因为它只需要进行 K 轮排序即可。

Tags: PHP堆排序原理

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